Alle wichtigen Beispiele aus dem Skript — mit Formeln, Eigenschaften und Erklärungen
Definition
$f(x) = x$ auf $[-\pi, \pi)$, periodisch fortgesetzt. Eine ungerade Funktion, daher treten nur Sinus-Terme auf.
Fourier-Koeffizienten
$$\hat{f}(0) = 0, \qquad \hat{f}(n) = \frac{(-1)^{n+1}}{in} \quad \text{für } n \neq 0$$
Fourier-Reihe
$$f(x) \sim 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$$
Wichtige Eigenschaften
- Koeffizienten fallen wie $1/n$ — Funktion ist nicht stetig (Sprung bei $\pm\pi$)
- Zeigt das Gibbs-Phänomen an den Sprungstellen
Anwendung
- Herleitung des Basel-Problems via Parseval: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
- Standardbeispiel für punktweise vs. gleichmäßige Konvergenz
Definition
$f(x) = \operatorname{sgn}(x)$ — eine ungerade Sprungfunktion, die nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annimmt.
Fourier-Reihe
$$f(x) \sim \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$$
Wichtige Eigenschaften
- Nur ungerade Harmonische $(2k+1)$ treten auf
- Klassisches Beispiel für das Gibbs-Phänomen: ca. 9% Überschwingen an den Sprungstellen
- Konvergiert nicht gleichmäßig, da die Funktion Sprungstellen besitzt
Anwendung
- Motivation für Cesàro-Summation und den Fejér-Kern
- Veranschaulicht die Grenzen punktweiser Konvergenz von Fourier-Reihen
Definition
$f(x) = |x|$ auf $[-\pi, \pi]$ — eine gerade, stetige Funktion. Daher treten nur Kosinus-Terme auf.
Fourier-Reihe
$$f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}$$
Wichtige Eigenschaften
- Gleichmäßige Konvergenz, da $f$ stetig und periodisch ist
- Koeffizienten fallen wie $1/n^2$ — Funktion ist Lipschitz-stetig, aber nicht $C^1$
- Nur ungerade Harmonische tragen bei (gerade Koeffizienten verschwinden)
Anwendung
- Vergleich mit der Sägezahnfunktion: Stetigkeit beschleunigt den Koeffizientenabfall
- Illustriert den Zusammenhang zwischen Regularität und Abfallrate
Definition
$$\Phi(x) = e^{-\pi x^2}$$
Normierung so gewählt, dass $\int_{\mathbb{R}} e^{-\pi x^2}\,dx = 1$.
Fourier-Transformierte
$$\hat{\Phi}(\xi) = \Phi(\xi) = e^{-\pi \xi^2}$$
Die Gaußfunktion ist Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert $1$.
Wichtige Eigenschaften
- Realisiert Gleichheit in der Heisenberg-Unschärferelation
- Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung
- Beweis über die DGL $\Phi'(x) = -2\pi x \, \Phi(x)$ und Fourier-Transformations-Rechenregeln
Anwendung
- Zentral in Wahrscheinlichkeitstheorie, Signalverarbeitung und Quantenmechanik
- Ausgangspunkt für die Poisson-Summenformel
Definition
$$D_N(x) = \sum_{n=-N}^{N} e^{inx} = \frac{\sin\bigl((N + \tfrac{1}{2})x\bigr)}{\sin(x/2)}$$
Fourier-Reihe
Die Partialsummen der Fourier-Reihe sind eine Faltung mit dem Dirichlet-Kern:
$$S_N f = f * D_N$$
Wichtige Eigenschaften
- Keine Approximation der Identität! Die $L^1$-Norm divergiert: $\|D_N\|_1 \to \infty$
- Nimmt negative Werte an — Ursache des Gibbs-Phänomens
- Satz von Du Bois-Reymond: Es existiert eine stetige Funktion $f$ mit $S_N f(0) \not\to f(0)$
Anwendung
- Fundamentales Werkzeug der Fourier-Analysis auf dem Torus
- Vergleich mit dem Fejér-Kern zeigt den Vorteil der Cesàro-Mittelung
Definition
$$F_N(x) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2\bigl((N+1)x/2\bigr)}{\sin^2(x/2)}$$
Fourier-Reihe
Die Cesàro-Mittel der Fourier-Reihe ergeben sich als Faltung mit dem Fejér-Kern:
$$\sigma_N f = f * F_N$$
Wichtige Eigenschaften
- Ist eine Approximation der Identität: $F_N(x) \geq 0$ für alle $x$
- Satz von Fejér: $\sigma_N f \to f$ gleichmäßig für stetige, periodische $f$
- Eliminiert das Gibbs-Phänomen vollständig
Anwendung
- Beweis des Approximationssatzes von Weierstraß (trigonometrische Version)
- Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten: $\hat{f}(n) = 0 \;\forall n \Rightarrow f = 0$
Definition
$$P_r(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{|n|} e^{inx} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos x + r^2}, \qquad 0 \leq r < 1$$
Fourier-Reihe
Die Abel-Mittel der Fourier-Reihe ergeben sich als Faltung:
$$A_r(f) = f * P_r$$
Wichtige Eigenschaften
- Approximation der Identität für $r \to 1^-$
- $P_r(x) \geq 0$ für alle $x$ und $0 \leq r < 1$
- Herleitung über geometrische Reihe: $\sum r^n e^{inx} + \sum r^n e^{-inx}$
Anwendung
- Löst das Dirichlet-Problem auf der Einheitskreisscheibe
- Harmonische Funktionen auf $\mathbb{D}$ als Faltung der Randwerte mit $P_r$
Definition
$$\operatorname{sinc}_\Omega(x) = \frac{\sin(\pi \Omega x)}{\pi \Omega x}$$
Fourier-Transformierte
Die Fourier-Transformierte ist eine Rechteckfunktion:
$$\widehat{\operatorname{sinc}_\Omega}(\xi) = \frac{1}{\Omega} \cdot \mathbf{1}_{[-\Omega/2,\, \Omega/2]}(\xi)$$
Wichtige Eigenschaften
- Shannon-Abtasttheorem: Ist $f$ bandlimitiert auf $[-\Omega/2, \Omega/2]$, so gilt:
$$f(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f\!\left(\frac{k}{\Omega}\right) \operatorname{sinc}_\Omega\!\left(x - \frac{k}{\Omega}\right)$$
- Nyquist-Rate: Mindestens $\Omega$ Abtastwerte pro Zeiteinheit nötig
Anwendung
- Grundlage der digitalen Signalverarbeitung und Informationstheorie
- Ideale Rekonstruktion bandlimitierter Signale aus diskreten Abtastwerten
Definition
$f(x) = \pi - |x|$ auf $[-\pi, \pi)$, periodisch fortgesetzt. Eine stetige, stückweise lineare, gerade Funktion — daher treten nur Kosinus-Terme auf.
Fourier-Reihe
$$f(x) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}$$
Wichtige Eigenschaften
- Koeffizienten fallen wie $1/n^2$ — Funktion ist Lipschitz-stetig, aber nicht $C^1$
- Gleichmäßige Konvergenz, da $f$ stetig ist
- Kontrast zur Rechteckwelle: schnelleres Abklingen ($1/n^2$ vs $1/n$)
Anwendung
- Illustriert den Zusammenhang zwischen Regularität und Abfallrate der Fourier-Koeffizienten
- Standardbeispiel für gleichmäßig konvergente Fourier-Reihen stetiger Funktionen
Definition
$$\text{III}(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \delta(x - 2\pi k)$$
Fourier-Koeffizienten
Alle Fourier-Koeffizienten sind gleich:
$$\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi}$$
Fourier-Reihe
$$\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{inx}$$
Wichtige Eigenschaften
- Die Poisson-Summationsformel ergibt sich als Spezialfall
- Fundamentales Objekt in der Distributionentheorie
- Kein Abklingen der Koeffizienten — keine klassische Funktion
Anwendung
- Abtastung (Shannon): Multiplikation mit dem Dirac-Kamm modelliert ideale Abtastung
- Verbindung zwischen kontinuierlicher und diskreter Fourier-Analysis
Definition
$$f(x) = \begin{cases}1 & 0 < x < \pi \\ 0 & -\pi < x < 0\end{cases}$$
Weder gerade noch ungerade — daher treten Sinus und Kosinus auf.
Fourier-Koeffizienten
- $\hat{f}(0) = \frac{1}{2}$ (Mittelwert der Funktion)
- $b_n = \frac{2}{\pi n}$ für ungerade $n$, $b_n = 0$ für gerade $n$
- $a_n = 0$ für $n \geq 1$
Wichtige Eigenschaften
- Konvergenz gegen $\frac{1}{2}$ an den Sprungstellen $x = 0$ und $x = \pi$
- Gibbs-Phänomen an beiden Sprungstellen
- Zerlegung in geraden und ungeraden Anteil veranschaulicht die Rolle von $a_n$ und $b_n$
Anwendung
- Einfaches Beispiel für gemischte Fourier-Reihen (Sinus + Kosinus)
- Motiviert den Mittelwertsatz für Fourier-Koeffizienten an Sprungstellen
Definition
$f(x) = x^2$ auf $[-\pi, \pi)$, periodisch fortgesetzt. Eine gerade Funktion — daher treten nur Kosinus-Terme auf.
Fourier-Reihe
$$f(x) = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$$
Wichtige Eigenschaften
- Koeffizienten $\sim 1/n^2$ — stetig, aber nicht $C^1$ (Knick bei $\pm\pi$)
- Parseval liefert: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$
- Auswertung bei $x = \pi$: $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ ergibt das Basel-Problem
Anwendung
- Berechnung von Zetafunktionswerten $\zeta(2)$ und $\zeta(4)$ aus Fourier-Reihen
- Illustriert die Leistungsfähigkeit der Parseval-Identität
Definition
$f(x) = e^{ax}$ auf $[-\pi, \pi)$, periodisch fortgesetzt (für $a \neq 0$). Weder gerade noch ungerade.
Fourier-Koeffizienten
Alle Fourier-Koeffizienten sind $\neq 0$:
$$\hat{f}(n) = \frac{(-1)^n \sinh(a\pi)}{a\pi \cdot (1 + n^2/a^2) \cdot \pi}$$
Wichtige Eigenschaften
- Sprung bei $x = \pm\pi$ (da $e^{-a\pi} \neq e^{a\pi}$) — Gibbs-Phänomen
- Konvergenz gegen $\frac{e^{a\pi} + e^{-a\pi}}{2}$ an den Sprungstellen
- Für $a \to 0$: Fourier-Reihe degeneriert zu $f \equiv 1$
Anwendung
- Beispiel für eine Funktion mit allen nicht-verschwindenden Fourier-Koeffizienten
- Verknüpfung mit hyperbolischen Funktionen via $\sinh$ in den Koeffizienten
Definition
$$H_t(x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\, e^{-x^2/(4t)}$$
Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung $\partial_t u = \partial_x^2 u$.
Fourier-Transformierte
$$\hat{H}_t(\xi) = e^{-4\pi^2 \xi^2 t}$$
Wichtige Eigenschaften
- Für $t \to 0^+$: $H_t \to \delta$ — Approximation der Identität
- $H_t$ ist eine reskalierte Gaußsche Glockenkurve
- Die Fourier-Transformierte ist wieder eine Gaußfunktion (in $\xi$)
Anwendung
- Lösung der Wärmeleitungsgleichung via Faltung: $u(x,t) = (H_t * u_0)(x)$
- Verbindung zur Gaußfunktion und zur Theorie der Approximationen der Identität