Formelsammlung

🔵 Fourier-Koeffizienten (komplex)
$$\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, e^{-inx} \, dx$$
Für $f \in L^1[-\pi, \pi]$, $n \in \mathbb{Z}$
🔵 Fourier-Koeffizienten (reell)
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
$\hat{f}(n) = \frac{a_n - ib_n}{2}$ für $n > 0$
🔵 Fourier-Reihe
$$S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n) \, e^{inx}$$
$$= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right)$$
🌊 Dirichlet-Kern
$$D_N(x) = \sum_{n=-N}^{N} e^{inx} = \frac{\sin\left(\left(N+\tfrac{1}{2}\right)x\right)}{\sin\left(\tfrac{x}{2}\right)}$$
$S_N f = f * D_N$. Keine Approx. der Identität!
🌊 Fejér-Kern
$$F_N(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N} D_k(x) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2\!\left(\tfrac{(N+1)x}{2}\right)}{\sin^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}$$
$\sigma_N f = f * F_N$. Ist Approx. der Identität ($\geq 0$)!
🌊 Poisson-Kern
$$P_r(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{|n|} e^{inx} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos x + r^2}$$
Für $0 \leq r < 1$. Ist Approx. der Identität für $r \to 1^-$.
🔄 Punktweise Konvergenz
$$\forall x, \forall \varepsilon > 0\; \exists N_0(x,\varepsilon): N \geq N_0 \Rightarrow |S_Nf(x) - f(x)| < \varepsilon$$
$N_0$ hängt von $x$ und $\varepsilon$ ab
🔄 Gleichmäßige Konvergenz
$$\forall \varepsilon > 0\; \exists N_0(\varepsilon): N \geq N_0 \Rightarrow \sup_x |S_Nf(x) - f(x)| < \varepsilon$$
$N_0$ unabhängig von $x$!
🔄 $L^2$-Konvergenz
$$\|S_Nf - f\|_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|S_Nf(x) - f(x)|^2\,dx \to 0$$
Gilt für alle $f \in L^2$ (immer!)
🔄 Konvergenz-Hierarchie
$$\text{absolut} \Rightarrow \text{gleichmäßig} \Rightarrow \text{punktweise}$$
$L^2$ steht quer: $L^2 \not\Rightarrow$ punktweise, punktweise $\not\Rightarrow$ $L^2$
📜 Parseval
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(n)|^2$$
Energie im Zeitbereich = Energie im Frequenzbereich
📜 Bessel-Ungleichung
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(n)|^2 \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx$$
Schwächer als Parseval — gilt allgemeiner für ONS
📜 Riemann-Lebesgue
$$f \in L^1 \Rightarrow \hat{f}(n) \to 0 \text{ für } |n| \to \infty$$
Koeffizienten gehen immer gegen 0. Umkehrung gilt nicht!
📜 Dirichlet-Jordan
$$f \text{ von beschr. Variation} \Rightarrow S_Nf(x) \to \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$$
📜 Fejér
$$f \in C(\mathbb{T}) \Rightarrow \sigma_Nf \rightrightarrows f$$
Cesàro-Mittel konvergieren gleichmäßig für stetige Funktionen
📜 Carleson
$$f \in L^2 \Rightarrow S_Nf(x) \to f(x) \text{ f.ü.}$$
Punktweise Konvergenz fast überall für $L^2$-Funktionen
🔗 Faltung
$$(f*g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)\,g(t)\,dt$$
$$\widehat{f*g}(n) = \hat{f}(n)\cdot\hat{g}(n)$$
Faltung im Zeitbereich = Multiplikation im Frequenzbereich
📡 Fourier-Transformation
$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-2\pi i \xi x}\,dx$$
📡 Inversionsformel
$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)\,e^{2\pi i\xi x}\,d\xi$$
📡 Plancherel
$$\|\hat{f}\|_2 = \|f\|_2$$
FT ist unitär auf $L^2(\mathbb{R})$
📡 Rechenregeln
$$\widehat{f'}(\xi) = 2\pi i\xi\,\hat{f}(\xi)$$
$$\widehat{f(x-a)}(\xi) = e^{-2\pi ia\xi}\hat{f}(\xi)$$
Ableitung → Multiplikation, Verschiebung → Phase
📉 Abklingverhalten
$$f \in C^k \Rightarrow \hat{f}(n) = O(|n|^{-k})$$
$$\widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \hat{f}(n)$$
Glatter → schnelleres Abklingen. Ableitung → Multiplikation mit $(in)^k$
📉 Young-Ungleichung
$$\|f*g\|_r \leq \|f\|_p \cdot \|g\|_q, \quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}$$
🧮 Schwartz-Funktionen
$$f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \sup_x (1+|x|)^k |f^{(j)}(x)| < \infty \;\; \forall k,j$$
Abgeschlossen unter: Ableitung, Polynom-Multiplikation, Faltung, FT
🔔 Gaußfunktion
$$\Phi(x) = e^{-\pi x^2}, \quad \hat{\Phi} = \Phi$$
Eigenfunktion der FT. $\int_{\mathbb{R}} e^{-\pi x^2}\,dx = 1$
📏 Faltung auf $\mathbb{R}$
$$(f*g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(y)\,g(x-y)\,dy$$
$$\widehat{f*g}(\xi) = \hat{f}(\xi)\cdot\hat{g}(\xi)$$
$(f*g)^{(j)} = f^{(j)}*g$ (Ableitung geht auf einen Faktor)
🔬 Unschärferelation (Heisenberg)
$$\left(\int x^2|\psi|^2\,dx\right)\left(\int \xi^2|\hat{\psi}|^2\,d\xi\right) \geq \frac{1}{16\pi^2}$$
Für $\|\psi\|_2 = 1$. Gleichheit nur für Gaußfunktionen.
🌊 Gute Kerne auf $\mathbb{R}$
$$K_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon}K\!\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)$$
(G1) $\int K_\varepsilon = 1$, (G2) $\sup_\varepsilon\int|K_\varepsilon| < \infty$, (G3) Konzentration um 0
📊 Cesàro-Durchschnitte
$$C_N(f) = \sum_{|n|
Fejér-Koeffizienten: $\widehat{F_N}(n) = (N-|n|)/N$ für $|n| \leq N-1$
📊 Abel-Durchschnitte
$$A_r(f)(x) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} r^{|n|}\hat{f}(n)e^{inx} = f * P_r$$
Konvergiert gleichmäßig für stetige $f$ bei $r \to 1^-$
📐 Sägezahnfunktion
$$f(x) = x \;\text{ auf } [-\pi,\pi): \quad \hat{f}(n) = \frac{(-1)^{n+1}}{in}, \; \hat{f}(0)=0$$
Mit Parseval: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
🏆 Isoperimetrische Ungleichung
$$A \leq \frac{L^2}{4\pi}$$
Fläche $A$, Länge $L$. Gleichheit nur für Kreise. Beweis: Fourier + Parseval.
📡 Shannon-Abtasttheorem
$$f = \sum_{k} f\!\left(\frac{k}{\Omega}\right) \text{sinc}_\Omega\!\left(\cdot - \frac{k}{\Omega}\right)$$
$$\int|f|^2\,dx = \frac{1}{\Omega}\sum_k\left|f\!\left(\frac{k}{\Omega}\right)\right|^2$$
Für bandbegrenzte $f \in B_\Omega$. $\text{sinc}_\Omega(x) = \frac{\sin(\pi\Omega x)}{\pi\Omega x}$
🌀 Gleichverteilung (Weyl)
$$\alpha \notin \mathbb{Q} \Rightarrow \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}h(\langle k\alpha\rangle) \to \int_0^1 h(x)\,dx$$
$\langle\alpha\rangle = \alpha - [\alpha]$ (Bruchteil). Beweis via Fejér-Approximation.
🔒 Eindeutigkeit (Satz 9)
$$\hat{f}(n) = 0 \;\forall n, \; f \text{ stetig bei } x_0 \Rightarrow f(x_0) = 0$$
Spitzenpolynome $(\varepsilon + \cos x)^k$ im Beweis. Korollar: $\hat{f}=\hat{g}$, stetig $\Rightarrow f \equiv g$.
📍 Lokale Konvergenz (Satz 43)
$$|f(x)-f(x_0)| \leq C|x-x_0| \Rightarrow S_Nf(x_0) \to f(x_0)$$
Lipschitz bei $x_0$ reicht für punktweise Konvergenz. $C^1 \Rightarrow$ Lipschitz.
⚡ Gibbs-Phänomen (exakt)
$$S_N f\!\left(\frac{\pi}{N}\right) \to \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx \approx 1.179$$
~18% Überschwingen (9% über dem Maximum). Cesàro: KEIN Gibbs!