Interaktive Visualisierungen zu Fourier-Reihen, Konvergenz und Kernen
Beobachte, wie die Partialsummen \(S_N f(x)\) eine Funktion approximieren.
Vergleich: Partialsummen (links, mit Überschwinger) vs. Cesàro-Mittel (rechts, ohne Gibbs).
Betrag der Fourier-Koeffizienten \(|\hat{f}(n)|\) und ihr Abfallverhalten.
Dirichlet-, Fejér- und Poisson-Kern im Vergleich.
Beobachte, wie ein Kern sich bei 0 konzentriert — die Fläche bleibt stets 1.
Visualisiere \((f*g)(x_0) = \frac{1}{2\pi}\int f(x_0-t)\,g(t)\,dt\): oben die Funktionen und ihr Überlapp, unten das volle Faltungsergebnis.
Wärmediffusion: \(u(x,t) = (H_t * u_0)(x)\) mit Wärmekern \(H_t(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\,e^{-x^2/(4t)}\).
Abtastung und Rekonstruktion mit sinc-Interpolation: Original mit Abtastpunkten (oben), Rekonstruktion (unten).
Funktion \(f(x)\) (links) und ihre Fourier-Transformierte \(|\hat{f}(\xi)|\) (rechts). Schmale Zeitfunktion → breites Spektrum!
Man kann nicht gleichzeitig in Ort und Impuls scharf lokalisiert sein. Die Gaußfunktion minimiert das Produkt \(\sigma_x \cdot \sigma_\xi\).