Theorie - Harmonische Analysis

Definition

Sei $f: [-\pi, \pi] \to \mathbb{C}$ eine $2\pi$-periodische, integrierbare Funktion. Die Fourier-Reihe von $f$ ist:

S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} \hat{f}(n) \, e^{inx}

Fourier-Koeffizienten

Die Fourier-Koeffizienten sind definiert als:

\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, e^{-inx} \, dx

Reelle Form

Alternativ kann man schreiben:

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)

mit den Koeffizienten:

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx

b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx

Merke

Die Beziehung zwischen komplexer und reeller Form: $\hat{f}(n) = \frac{a_n - i b_n}{2}$ für $n > 0$ und $\hat{f}(-n) = \overline{\hat{f}(n)}$ für reelle $f$.

Symmetrie-Eigenschaften

$f$ gerade ($f(-x) = f(x)$): Nur Kosinus-Anteile, $b_n = 0$
$f$ ungerade ($f(-x) = -f(x)$): Nur Sinus-Anteile, $a_n = 0$
$f$ reellwertig: $\hat{f}(-n) = \overline{\hat{f}(n)}$

Punktweise Konvergenz

$S_N f(x) \to f(x)$ für jedes feste $x$:

\forall x, \forall \varepsilon > 0 \; \exists N_0(x, \varepsilon): \; N \geq N_0 \Rightarrow |S_N f(x) - f(x)| < \varepsilon

Beachte: $N_0$ hängt von $x$ ab!

Gleichmäßige Konvergenz

$S_N f \to f$ gleichmäßig:

\forall \varepsilon > 0 \; \exists N_0(\varepsilon): \; N \geq N_0 \Rightarrow \sup_x |S_N f(x) - f(x)| < \varepsilon

Hier ist $N_0$ unabhängig von $x$!

$L^2$-Konvergenz (im quadratischen Mittel)

$S_N f \to f$ in $L^2$:

\|S_N f - f\|_2^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |S_N f(x) - f(x)|^2 \, dx \to 0

Absolute Konvergenz

Die Fourier-Reihe konvergiert absolut, wenn:

\sum_{n=-\infty}^{\infty} |\hat{f}(n)| < \infty

Wichtige Hierarchie

Absolute Konv. $\Rightarrow$ Gleichmäßige Konv. $\Rightarrow$ Punktweise Konv.

Aber: $L^2$-Konvergenz steht quer dazu!
$L^2 \not\Rightarrow$ punktweise und punktweise $\not\Rightarrow$ $L^2$

Wann konvergiert was?

$L^2$-Konvergenz: Gilt für alle $f \in L^2$ (immer!)
Punktweise: Gilt z.B. für $f$ mit beschränkter Variation (Satz von Dirichlet-Jordan)
Gleichmäßig: Gilt z.B. für stetige $f$ mit absolut konvergenter Fourier-Reihe
Absolut: Gilt z.B. für $f \in C^1$ (einmal stetig differenzierbar)

Satz von Parseval

Für $f \in L^2[-\pi, \pi]$ gilt:

\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |\hat{f}(n)|^2

Bedeutung: Die Energie einer Funktion im Zeitbereich = Energie im Frequenzbereich. Zeigt auch die Isometrie der Fourier-Transformation auf $L^2$.

Satz von Dirichlet-Jordan

Ist $f$ von beschränkter Variation auf $[-\pi, \pi]$, dann gilt für alle $x$:

S_N f(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

An Stetigkeitsstellen konvergiert die Fourier-Reihe gegen $f(x)$. An Sprungstellen gegen den Mittelwert der links- und rechtsseitigen Grenzwerte.

Satz von Fejér

Für jede stetige, $2\pi$-periodische Funktion $f$ konvergieren die Cesàro-Mittel gleichmäßig:

\sigma_N f(x) = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} S_k f(x) \rightrightarrows f(x)

Die Cesàro-Mittel haben bessere Konvergenzeigenschaften als die Partialsummen selbst!

Riemann-Lebesgue-Lemma

Für $f \in L^1[-\pi, \pi]$ gilt:

\hat{f}(n) \to 0 \quad \text{für } |n| \to \infty

Die Fourier-Koeffizienten gehen immer gegen Null. Die Umkehrung gilt nicht!

Satz von Carleson

Für $f \in L^2[-\pi, \pi]$ konvergiert die Fourier-Reihe fast überall punktweise gegen $f$:

S_N f(x) \to f(x) \quad \text{f.ü.}

Einer der tiefsten Sätze der harmonischen Analysis (1966). Der Beweis ist sehr technisch.

Satz 9 (Eindeutigkeit)

Sei $f$ $2\pi$-periodisch, integrierbar mit $\hat{f}(n) = 0$ für alle $n$ und $f$ stetig bei $x_0$. Dann $f(x_0) = 0$.

Korollar 10: Sind $f, g$ stetig mit $\hat{f}(n) = \hat{g}(n)$, dann $f \equiv g$.
Korollar 37: Ist $f$ integrierbar mit $\hat{f}(n) = 0$ für alle $n$, dann $f = 0$ fast überall.

Satz 43 (Lokale Konvergenz)

Ist $f$ $2\pi$-periodisch, integrierbar und Lipschitz bei $x_0$ (d.h. $|f(x)-f(x_0)| \leq C|x-x_0|$), dann:

S_N f(x_0) \to f(x_0) \quad \text{für } N \to \infty

Satz 24 (Du Bois-Reymond, 1873)

Es existiert eine stetige $2\pi$-periodische Funktion $f$, deren Fourier-Reihe in einem Punkt $x_0$ nicht konvergiert: $S_N f(x_0) \not\to f(x_0)$.

Deshalb brauchen wir Summationsmethoden wie Cesàro (Fejér) oder Abel (Poisson)!

Satz 40 (Quadratische Konvergenz & Parseval)

Für $f \in L^2[-\pi,\pi]$:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x) - S_Nf(x)|^2\,dx \to 0

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \sum_{n \in \mathbb{Z}}|\hat{f}(n)|^2

Lemma 39 (Beste Annäherung): $S_Nf$ ist die beste Approximation in $L^2$ unter allen trigonometrischen Polynomen vom Grad $\leq N$.

Bessels Ungleichung

Für jedes $f \in L^2$:

\sum_{n=-\infty}^{\infty} |\hat{f}(n)|^2 \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx

Parseval liefert die Gleichheit — Bessel ist die schwächere Abschätzung.

Dirichlet-Kern

D_N(x) = \sum_{n=-N}^{N} e^{inx} = \frac{\sin\left(\left(N + \frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}

Die Partialsumme ist die Faltung: $S_N f = f * D_N$

Achtung

Der Dirichlet-Kern ist keine Approximation der Identität, da $\|D_N\|_1 \to \infty$ (er ist nicht positiv und sein $L^1$-Integral ist unbeschränkt).

Fejér-Kern

F_N(x) = \frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^{N} D_k(x) = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{\sin^2\left(\frac{(N+1)x}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}

Die Cesàro-Mittel: $\sigma_N f = f * F_N$

Warum ist der Fejér-Kern besser?

Der Fejér-Kern ist eine Approximation der Identität, denn:

$F_N(x) \geq 0$ (immer positiv!)
$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F_N(x) \, dx = 1$
Für jedes $\delta > 0$: $\int_{\delta \leq |x| \leq \pi} F_N(x) \, dx \to 0$

Summationsmethoden (Abschnitt 5)

Zusammenfassung aus dem Script

Sei $f$ stetig und $2\pi$-periodisch. Dann:

NICHT immer: $f(x) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^{N}\hat{f}(n)e^{inx}$ (Satz 24!)
Cesàro (Fejér): $f(x) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=-(N-1)}^{N-1}\left(1-\frac{|n|}{N}\right)\hat{f}(n)e^{inx}$ ✓
Abel (Poisson): $f(x) = \lim_{r\to 1^-} \sum_{n\in\mathbb{Z}} r^{|n|}\hat{f}(n)e^{inx}$ ✓

Abel-Durchschnitte (Def. 31)

A_r(f)(x) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} r^{|n|}\hat{f}(n)e^{inx} = (f * P_r)(x)

Korollar 35: Für stetige $f$ gilt $A_r(f) \to f$ gleichmäßig für $r \to 1^-$.

Approximation der Identität (allgemein)

Definition

Eine Familie $\{K_N\}$ heißt Approximation der Identität, wenn:

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_N(x)\,dx = 1$ für alle $N$
$\sup_N \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |K_N(x)|\,dx < \infty$ (beschränkte $L^1$-Norm)
$\frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq |x| \leq \pi} |K_N(x)|\,dx \to 0$ für alle $\delta > 0$

Definition der Faltung

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) \, g(t) \, dt

Wichtige Eigenschaften

Kommutativ: $f * g = g * f$
Assoziativ: $(f * g) * h = f * (g * h)$
Fourier-Koeff.: $\widehat{f * g}(n) = \hat{f}(n) \cdot \hat{g}(n)$

Zentrale Eigenschaft

Die Faltung im Zeitbereich entspricht der punktweisen Multiplikation im Frequenzbereich. Das ist das fundamentale Prinzip hinter der Fourier-Analysis!

Youngs Ungleichung

\|f * g\|_r \leq \|f\|_p \cdot \|g\|_q

wobei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}$ mit $1 \leq p, q, r \leq \infty$.

Definition 47 (Fourier-Transformation)

Für $f \in L^1(\mathbb{R})$:

\hat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, e^{-2\pi i x \xi} \, dx, \quad \xi \in \mathbb{R}

Es gilt $\|\hat{f}\|_\infty \leq \|f\|_1$ (die Abbildung $f \mapsto \hat{f}$ ist stetig $L^1 \to L^\infty$).

Satz 49: Symmetrieeigenschaften

Translation: $\widehat{f(x-a)}(\xi) = e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)$
Modulation: $\widehat{e^{2\pi i a x} f(x)}(\xi) = \hat{f}(\xi - a)$
Dilatation: $\widehat{f(ax)}(\xi) = \frac{1}{a} \hat{f}(\xi/a)$ für $a > 0$
Ableitung: $\widehat{f'}(\xi) = 2\pi i \xi \, \hat{f}(\xi)$
Multiplikation: $\widehat{(-2\pi i x \cdot f)}(\xi) = \hat{f}'(\xi)$

Definition 51 (Schwartz-Funktionen)

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ heißt Schwartz-Funktion, falls $f \in C^\infty$ und für alle $k, j \in \mathbb{N}_0$:

\sup_{x \in \mathbb{R}} (1+|x|)^k \left|\frac{d^j}{dx^j} f(x)\right| < \infty

Der Raum $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ ist abgeschlossen unter Ableitung, Multiplikation mit Polynomen, Faltung und Fourier-Transformation.

Satz 55: Gaußfunktion

$\Phi(x) = e^{-\pi x^2}$ ist eine Schwartz-Funktion und Eigenfunktion der FT: $\hat{\Phi} = \Phi$

Definition 56 (Faltung auf $\mathbb{R}$)

Für $f \in L^1(\mathbb{R})$ und $g \in L^\infty(\mathbb{R})$:

(f * g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(y) \, g(x-y) \, dy

Satz 60: $\widehat{f * g}(\xi) = \hat{f}(\xi) \cdot \hat{g}(\xi)$ (Faltungssatz auf $\mathbb{R}$)

Satz 65 (Inversionsformel)

Sei $f \in L^1(\mathbb{R})$ mit $\hat{f} \in L^1(\mathbb{R})$. Dann:

f(x) = \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(\xi) \, e^{2\pi i x \xi} \, d\xi

Für $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ gilt die Formel für jedes $x$.

Satz 66 (Plancherel)

\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2 \, dx = \int_{\mathbb{R}} |\hat{f}(\xi)|^2 \, d\xi

Die FT ist eine Isometrie auf $L^2(\mathbb{R})$. Satz 69: Sie ist sogar ein isometrischer Isomorphismus.

Gute Familie von Kernen auf $\mathbb{R}$ (Def. 61)

Definition

$(K_\varepsilon)_{\varepsilon > 0}$ heißt gute Familie, wenn:

(G1) $\int_{\mathbb{R}} K_\varepsilon(x)\,dx = 1$
(G2) $\sup_\varepsilon \int_{\mathbb{R}} |K_\varepsilon(x)|\,dx < \infty$
(G3) $\int_{|x|>\delta} |K_\varepsilon(x)|\,dx \to 0$ für $\varepsilon \to 0^+$

Lemma 62: Ist $K \in L^1$ mit $\int K = 1$, dann ist $K_\varepsilon(x) := \frac{1}{\varepsilon}K(x/\varepsilon)$ eine gute Familie.

Satz 71 (Heisenberg)

Sei $\psi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ mit $\|\psi\|_2 = 1$. Dann:

\left(\int_{\mathbb{R}} x^2 |\psi(x)|^2\,dx\right) \cdot \left(\int_{\mathbb{R}} \xi^2 |\hat{\psi}(\xi)|^2\,d\xi\right) \geq \frac{1}{16\pi^2}

Gleichheit gilt genau für $\psi(x) = \alpha \, e^{-\beta x^2}$ (Gaußfunktionen).

Prinzip

Je konzentrierter eine Funktion im Zeitbereich ist, desto breiter ist ihre Fourier-Transformierte im Frequenzbereich — und umgekehrt. Man kann nicht gleichzeitig in beiden Bereichen scharf lokalisiert sein.

Anwendung in der Quantenmechanik

Wellenfunktion $\psi \in L^2(\mathbb{R})$ mit $\|\psi\|_2 = 1$
Positionsdichte: $p(x) = |\psi(x)|^2$
Impulsdichte: $q(\xi) = |\hat{\psi}(\xi)|^2$
Unschärfe: $\sigma(p) \cdot \sigma(q) \geq \frac{1}{4\pi}$

Satz 46 (Dirichlet-Problem)

Sei $f : S^1 \to \mathbb{R}$ stetig. Dann existiert eindeutig $g : \overline{D} \to \mathbb{R}$ stetig mit:

$g$ unendlich differenzierbar auf $D$ (offene Einheitsscheibe)
$\Delta g = 0$ auf $D$ (harmonisch)
$g = f$ auf $S^1 = \partial D$ (Randbedingung)

Lösung via Poisson-Kern

Die Lösung ist gegeben durch die Abel-Mittel:

g(re^{ix}) = A_r(h)(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{h}(n) \, r^{|n|} e^{inx}

wobei $h(x) = f(e^{ix})$ und $0 \leq r < 1$.

Satz 72: Isoperimetrische Ungleichung

Für eine geschlossene einfache Kurve mit Länge $L$ und eingeschlossener Fläche $A$:

A \leq \frac{L^2}{4\pi}

Gleichheit genau für Kreise. Beweis (Hurwitz): Fourier-Entwicklung der Kurve + Parseval-Identität.

Satz 73: Gleichverteilung (Weyl, 1916)

Sei $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ irrational. Dann ist die Folge $\{\langle n\alpha \rangle : n \in \mathbb{N}\}$ gleichverteilt in $[0,1)$:

\frac{\#\{k : \langle k\alpha \rangle \in (a,b), \; 1 \leq k \leq n\}}{n} \to (b-a)

Beweis: Reduktion auf Exponentialfunktionen, dann Fejér-Approximation.

Shannon-Abtasttheorem

Sei $f \in B_\Omega$ (bandbegrenzt mit Bandbreite $\Omega$). Dann:

f(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} f\!\left(\frac{k}{\Omega}\right) \frac{\sin\!\left(\pi\Omega\!\left(x - \frac{k}{\Omega}\right)\right)}{\pi\Omega\!\left(x - \frac{k}{\Omega}\right)}

mit Konvergenz in $L^2$ und gleichmäßig.

Stichprobenisometrie

Für $f \in B_\Omega$:

\int_{\mathbb{R}} |f(x)|^2\,dx = \frac{1}{\Omega}\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left|f\!\left(\frac{k}{\Omega}\right)\right|^2

Die $L^2$-Norm wird durch die Abtastwerte bestimmt — keine Information geht verloren!

An Sprungstellen einer Funktion zeigt die Fourier-Reihe ein charakteristisches Überschwingen.

Wichtig

Das Überschwingen beträgt immer ca. 9% der Sprunghöhe (genauer: $(2/\pi)\int_0^{\pi} \frac{\sin t}{t}\,dt - 1 \approx 0.0895$), unabhängig von $N$!

Das bedeutet: Auch wenn $N \to \infty$, verschwindet das Überschwingen nicht — es wird nur schmaler, aber die Höhe bleibt gleich.

Prüfungsrelevant

Die Fejér-Summation (Cesàro-Mittel) zeigt kein Gibbs-Phänomen! Das ist ein weiterer Vorteil der Cesàro-Mittel.

Je glatter eine Funktion, desto schneller fallen ihre Fourier-Koeffizienten ab:

Regel

$f \in L^2$: $\sum |\hat{f}(n)|^2 < \infty$ (Parseval)
$f \in C^k$ ($k$-mal stetig diff.): $\hat{f}(n) = O(|n|^{-k})$
$f \in C^{\infty}$: $\hat{f}(n) = O(|n|^{-k})$ für alle $k$
$f$ analytisch: $|\hat{f}(n)| \leq C \cdot e^{-\alpha|n|}$ (exponentielles Abklingen)

Umkehrung

Auch umgekehrt: Schnell abfallende Koeffizienten $\Rightarrow$ glatte Funktion. Bei $|\hat{f}(n)| = O(|n|^{-k-2})$ ist $f$ mindestens $k$-mal stetig differenzierbar.

Zusammenhang: Ableitung & Koeffizienten

\widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \hat{f}(n)

Ableitung im Zeitbereich = Multiplikation mit $(in)^k$ im Frequenzbereich.